Tarea 7: Problema 9.1 - Criterio de Estabilidad de Nyquist

El problema que escogí del libro, fue el 9.1:

Los sistemas del problema 8.1 son los siguientes:

Entonces lo que hay que hacer para cada sistema es, utilizando el criterio de Nyquist:

• Investigar la estabilidad del sistema.
• Especificar los valores de N, P y Z.

Investigar la estabilidad del sistema

Lo primero se hace en base a la posición de los polos, tomando en cuenta que:

"Un sistema realimentado es estable si todos los polos de lazo cerrado se ubican en el semiplano izquierdo del plano s. Esto es lo mismo a decir que todas las raíces de la ecuación característica tienen parte real negativa."

Esto se puede observar en la imágen:

Especificar los valores de N, P y Z

Los valores de N, P y Z son:

• P: Polos, raíces del denominador de la función de transferencia.
• Z: Ceros (Zeros), raíces del numerador de la función de transferencia. 
• N:  N = Z - P

Para hacer ambos pasos, escribí un programa en Octave que toma como parámetros el numerador y denominador de la función de transferencia, y grafica el diagrama de Nyquist correspondiente, encuentra sus polos y zeros, analiza la estabilidad basado en ellos y calcula N, Z y P. El programa es el siguiente

Sistema 1:

Utilizando el programa con los datos de la función de transferencia, nos arroja la siguiente salida:

Como se puede observar, la parte real de ambos zeros es negativa, por lo cual se puede concluir que el sistema es estable.

Sistema 2

Utilizando el programa, dando como entrada los vectores con el numerador y denominador de ésta función de transferencia, la salida es:

En este caso ambas raíces(zeros), la parte real se encuentra en cero, por lo cual el sistema no es estable

Sistema 3

Con el programa y los nuevos datos de ésta función de transferencia, obtenemos los resultados:

A diferencia de los anteriores, ahora contamos con ceros con parte real e imaginaria. Esto no cambia nada, debido a que debemos enfocarnos en la parte real. Ambas partes reales de las raíces son negativas, por lo que se concluye que el sistema es estable.

Sistema 4

Utilizando el programa, la salida es:

Aquí, una raíz es 0, es decir no todas son negativas, por lo cual el sistema no es estable.

Referencias:

• Sistemas de control moderno, Richard C. Dorf, Robert H. Bishop