domingo, 28 de octubre de 2012

Tarea 5: Diagrama de Nyquist y Estabilidad de un sistema

Mi problema para esta semana es el siguiente:



El problema pide dibujar un diagrama de Nyquist de la función ahí mostrada, y examinar su estabilidad. Lo segundo es lo mismo en lo que estaremos trabajando para la tercera tarea de la materia con nuestra función de transferencia, por lo cual practicar para examinar la estabilidad de otra función me parece buena idea.

Ahora, para dibujar el diagrama de Nyquist podemos simplemente usar Octave-MATLAB y la función nyquist, descrita a continuación:

Función nyquist

[reimw] = nyquist (sys)
[reimw] = nyquist (sys, w)


Descripción: Diagrama de Nyquist de respuesta de frecuencia. Si no se dan argumentos de salida, la respuesta se muestra en la pantalla.

Entradas:
  • sys: Sistema LTI. Debe ser de una sola entrada y de una sola salida (SISO).
  • w: Vector opcional de valores de frecuencia. Si no es especificado, es calculado con los ceros y polos del sistema.
Salidas:
  • re: Vector con las partes reales. El largo es el mismo del vector de frecuencias w.
  • im: Vector de las partes imaginarias. Igual tamaño que w.
  • w: Vector de valores de frecuencia usado.
Proporcionando el sistema a la función, ignorando el vector de frecuencias w que no se especifica en el problema:



Entonces le pasamos a la función nyquist el sistema creado anteriormente y ajustamos un poco el plano para poder mostrar desde -2 a 2 en ambos ejes.


Lo siguiente es examinar su estabilidad.Esto podriamos hacerlo de múltiples maneras, pero debido a que estamos usando un diagrama de Nyquist la forma más sencilla es obtener los puntos críticos o raíces del denominador de la función del problema, y observar en que plano caen. En un par de fuentes se menciona esto:

"La estabilidad de un sistema se puede determinar por la ubicacón de los polos(raíces de la ecuación característica) en el plano s. Si alguno de los polos de la ecuación característica se encuentran en el semiplano derecho el sistema es inestable[2]

"We remind you that a stable system will have all of the poles in the left half of the s-plane, so all of the p's will be negative in G(s)." [3]

Nota: La ecuación característica es el denominador de la función de transferencia.

El plano quedaría algo así entonces:


Podemos usar octave para obtener los puntos críticos de la ecuación característica, que sería s^3 + 0.2 s^2 + s + 1. Para esto utilizamos roots que toma como parametro el vector con los coeficientes de la ecuación característica:

Estos puntos quedan, los primeros dos del lado derecho del plano, y el último del lado izquierdo, dichos valores quedan localizados donde se muestra:

Con esto podemos concluir que: la ecuación es inestable.

Nota: Con solo ver la gráfica de Nyquist mostrada anteriormente podemos ver que NINGÚN punto cae sobre el eje izquierdo, por lo que simplemente podemos concluir que es inestable, pero no esta nada mal explicar como comprobar para los demás casos.

Referencias:

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